Задание
5 + 10 : 10 · 7 − 6 = ?
- 60 секунд
- без калькулятора
Перед вами короткий арифметический пример, в котором нет больших чисел, дробей или скобок, зато сочетаются сложение, деление, умножение и вычитание. Внешне он похож на обычную запись из школьной тетради: достаточно переписать строку, поставить карандаш возле первого числа и начать считать, но именно выбор первого действия здесь требует объяснения. Даже взрослый читатель может споткнуться, когда знакомый вид записи побуждает сразу приступить к вычислениям, не выяснив, какие её части связаны между собой. Здесь не нужно искать скрытую закономерность, дорисовывать знаки или угадывать замысел по расположению цифр: все нужные сведения уже есть в самом выражении. Ваша задача — получить результат и объяснить, почему действия выполнены именно в такой последовательности, а не в другой.
Отведите себе несколько минут на самостоятельную попытку, чтобы успеть посчитать в уме и кратко записать ход рассуждений. Сначала прочитайте всё выражение, назовите каждый знак и вспомните правило, по которому определяют очерёдность арифметических действий без скобок; вычислять во время этого первого чтения пока не нужно. Затем можно прикрыть ладонью объяснение ниже и решить пример на отдельном листе, оставляя исходную строку перед глазами, чтобы не восстанавливать её по памяти после каждого действия. Рядом со своим результатом запишите краткое обоснование выбранного порядка: оно поможет сравнить не только итоговое число, но и сам способ вычисления. Переходите к подсказке, если сомневаетесь именно в очерёдности, а не в таблице умножения.
Подсказка
Умножение и деление имеют одинаковый приоритет, поэтому порядок их выполнения определяется расположением в выражении, а не названием действия.
Ответ и решение
Показать ответ
Ответ: 6
Решение по шагам- 10 : 10 = 1
- 1 · 7 = 7
- 5 + 7 = 12
- 12 − 6 = 6
Начинаем с определения приоритета: в выражении без скобок умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания, а действия одинакового приоритета — слева направо. Значит, сначала работаем со средней частью записи, не присоединяя к ней первое слагаемое и не выполняя вычитание в конце; эти части остаются на своих местах до завершения действий более высокого приоритета. Первым здесь стоит деление: 10 : 10 = 1, и полученное число заменяет только что вычисленную часть, а остальные знаки сохраняются. Этот результат ещё не ответ на всю головоломку: после замены нужно продолжить с того действия, которое непосредственно связано с полученным числом в исходной записи и имеет тот же приоритет.
Далее выполняем умножение: 1 · 7 = 7, так что средняя часть выражения теперь полностью вычислена и её можно заменить одним числом без изменения значения всей записи. На этом этапе больше не остаётся ни деления, ни умножения, а значит, можно переходить к сложению и вычитанию, которые тоже имеют одинаковый приоритет и выполняются слева направо. Следующий шаг — 5 + 7 = 12; полученная сумма включает первое слагаемое и уже вычисленную среднюю часть, но вычитание в конце пока остаётся невыполненным. Не нужно возвращаться к началу или заново выбирать очерёдность: после каждой правильной замены запись становится короче, а порядок оставшихся действий определяется тем же правилом, которое мы применили в начале вычисления.
Завершаем последним действием: 12 − 6 = 6. Для проверки сверяем выполненные переходы с исходным выражением: деление предшествовало умножению, поскольку стояло левее, оба этих действия были выполнены до сложения, а вычитание осталось завершающим шагом после получения суммы. Отдельно проверяем сохранность записи: при замене вычисленной части ни один из остальных знаков не исчез, первое слагаемое не попало в деление, а последнее число не участвовало в умножении или другом предшествующем действии. Такая проверка касается именно последовательности и границ каждой выполненной операции, поэтому для неё не нужно придумывать другой способ вычисления или менять расположение чисел в примере; все действия исходной записи уже учтены. Правильный ответ — 6.
Почему здесь ошибаются
Распространённая ошибка в примерах такого типа — воспринимать всю строку как последовательность команд, которые нужно выполнять от левого края независимо от знаков. В обычном тексте мы действительно читаем слова одно за другим, поэтому такой способ чтения легко перенести и на арифметическую запись, хотя правила вычисления устроены иначе. Из-за этого первый видимый знак может показаться естественной точкой отсчёта, а вопрос о его приоритете вообще не возникнет до получения результата. Чтобы не подменять порядок действий порядком чтения, перед вычислением назовите вслух или мысленно все имеющиеся операции и определите, какие из них относятся к одному уровню приоритета.
Другая ловушка связана с заученной фразой «сначала умножение и деление»: её можно ошибочно понять как требование всегда ставить умножение перед делением. Однако перечисление названий не устанавливает преимущества между этими операциями, и именно здесь неточно запомнившееся правило способно сбить с верного пути даже человека, который без труда выполняет каждое отдельное арифметическое действие. Такая ошибка касается выбора очерёдности, а не умения делить или умножать, поэтому повторение таблицы умножения само по себе её не исправит. Вспомните правило полностью, включая направление выполнения действий одинакового приоритета, и лишь после этого отметьте карандашом ту часть нового примера, с которой планируете начать.
Отдельное затруднение возникает, когда все промежуточные изменения приходится держать в памяти: после вычисления фрагмента легко продолжить работу уже с неточно воспроизведённой записью. На бумаге этого можно избежать с помощью простого приёма: каждую следующую строку переписывайте полностью, заменяя только вычисленную часть, а не восстанавливая остальное выражение по памяти. При проверке смотрите и на числа, и на знаки между ними, ведь правильно выполненное отдельное действие не гарантирует правильности всей цепочки, если рядом случайно изменилась другая операция. В случае расхождения сопоставьте соседние строки и найдите первое место, где изменилась часть, которую вы ещё не вычисляли; исправьте именно этот переход, прежде чем продолжать работу.
Как тренироваться
Для ежедневного короткого упражнения возьмите новый пример 8 + 12 : 4 · 2 − 3 и сначала поработайте с ним без вычислений: отметьте действия более высокого приоритета, а затем покажите стрелкой направление их выполнения. Только после этого решите его на бумаге, каждый раз переписывая неизменённые части, а рядом кратко объясните словами причину своего выбора, не ограничиваясь названием операции. Другое упражнение постройте на сравнении записей 18 : 3 · 2 и 18 : (3 · 2): перед подсчётом опишите, что именно меняют скобки и будет ли первым одно и то же действие в этих случаях. Здесь удобно складывать лист пополам: слева оставлять исходное выражение, справа записывать объяснение, а после завершения разворачивать его и проверять соответствие между словами и вычислениями.
Ещё один способ тренировки — разобрать заведомо ошибочное начало, не доводя его до конечного результата: для примера 9 + 6 · 3 представьте, что кто-то предлагает сначала выполнить сложение. Объясните, какое правило нарушает такое предложение, а затем расставьте нужные скобки так, чтобы предложенное начало стало допустимым; полученная запись будет уже другим выражением, и это нужно прямо проговорить. Для следующих занятий можно менять числа в этих учебных примерах, сохраняя расположение знаков, или оставлять числа и менять только скобки, чтобы отдельно проверять влияние каждого изменения. Не пытайтесь каждый раз сокращать запись до устного ответа: оставьте на листе исходную строку, выбранный порядок и промежуточные переходы, а после проверки подчеркните конкретное место, которое пришлось исправить, или отметьте, что все переходы совпали.
3 + 9 · 6 − 4 : 2 = ?
Проверить себя
Ответ: 55
Частые вопросы
Что нужно сделать в этой головоломке?
Вычислить: 5 + 10 : 10 · 7 − 6 = ?
Сколько времени дать себе на эту головоломку?
Одну-две минуты без калькулятора: этого хватит, чтобы найти правило и проверить себя.
Какая подсказка к головоломке?
Умножение и деление имеют одинаковый приоритет, поэтому порядок их выполнения определяется расположением в выражении, а не названием действия.
Как проверить ответ?
Разверните «Ответ и решение»: там ответ, шаги решения и частая ошибка. Сначала запишите свой вариант, потом сравните.
Поделитесь впечатлением
Комментарий публикуется сразу после автоматической проверки. Не добавляйте ссылки, рекламу, угрозы или личные данные. Рядом с именем покажем страну — её определяем по IP-адресу, сам адрес не сохраняем и не показываем.
Загружаем комментарии…